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Citation - Alibi. Quand on ne sait pas quoi dire, on se cache derrière une citation, voire une allusion, ce qui est nettement plus perfide. Il est de bon ton dans les discours stratégiques du monde high tech ou politique de citer l'apophtegme de tel ou tel auteur classique, qu'on n'a évidemment jamais lu mais qu'on a trouvé en deux clics de mots-clés sur citationsdumonde.com. La référence culturelle légitime l'imperméabilité du discours. Léon-Paul Fargue disait un truc du genre : " Utiliser une citation classique, c'est comme exhumer sa grand-mère devant sa maîtresse "…Que le lecteur me pardonne mes travers obituaires et que toutes les maîtresses du monde sachent qu'il y a toujours quelque chose à apprendre de l'aïeule de leur amant. * dans l'excellent ouvrage : " Les allusions littéraires " de Jean-Claude Bologne, chez Larousse....autres mots...

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L'énigme 12 pièces - 3 pesées: une solution!

Débat - Idees - Écrit par Luc Fayard - 09-01-2005

(source de l'image)
Je rappelle le problème (lire les commentaires de l'Enigme de Noël):
Vous avez 12 pièces identiques dont l'une a un poids différent des 11 autres.
- Vous avez à votre disposition une simple balance à deux plateaux, sans graduation ni poids.
- Comment trouver la pièce en trois pesées maximum?
Un lecteur, qui préfère rester anonyme - sans doute parce que pudique et pas sûr à 100%! - nous propose cette solution , en s'excusant de la forme peu conviviale du tableau Excel, mais il n'a rien trouvé de mieux pour s'exprimer!
Quant à moi, j'ai commencé à vérifier, ça a l'air très bien, mais j'avoue avoir lâché en route...

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Commentaires (1) add comment

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Cell, APM, Nounou a écrit:

Oulaaaa dur dur de comprendre la solution. Je vais tenter une explication plus simple :
- L'astuce exploitée dans l'énigme est : pour savoir parmi trois objets lequel est le plus lourd il suffit d'en peser deux. En cas d'équilibre c'est l'objet restant le plus lourd.
- On fait de même avec trois groupes de billes. 12 = 3 * 4. Donc je mets dans chaque plateau un groupe de 4 billes. D'après l'astuce je peux déterminer dans quel groupe de billes se trouve la plus lourde.
- Il me reste donc 4 billes et je dois déterminer laquelle est la plus lourde. 4 = 2 * 2. Je pèse donc les deux groupes de deux billes. Je sais quel couple de bille est le plus lourd.
- Parmi les deux billes restantes je peux déterminer par une pesée laquelle est la plus lourde. Tintinnnnnn.
- Remarquons qu'on aurait pu tenter d'économiser une pesée : si à la deuxième pesée que nous effectuons (il reste alors 4 billes) est avec une bille dans chaque plateau. (En cas d'équilibre la bille la plus lourde est dans le groupe restant et nous n'avons pas économisé de pesée).
- Un ami a eu une question similaire en entretien d'embauche mais parmi 9 billes. En combien de pesée au minimum pouvez vous déterminer, à coup sûr, quelle est la bille la plus lourde ?
Rédigé par: Cell | janvier 10, 2005 07:33 PM
http://mongazine.free.fr/

Ce n'est pas aussi simple que vous le dites, Cell. Car le cas de non-équilibre permet de dire que la pièce non pesée n'est pas concernée, mais nécessite une deuxième pesée. C'est donc pire encore quand on a dans les deux groupes de 4 pièces pesées la pièce qui n'a pas le même poids. Vous êtes optimistes quand vous dites "D'après l'astuce je peux déterminer dans quel groupe de billes se trouve la plus lourde."
- Il y a en fait tout un arbre d'hypothèses, que le tableau excel (à condition de refermer toutes les indentations à partir de la plus profonde, avant de jouer avec) rend, imparfaitement, mais mieux que les démonstrations mathématiques trouvées via google qui généralisent au cas de N pièces (avec la question : combien de pesées maximum, ce qui est pire que l'énoncé repris par Luc Fayard).
- La solution de ce type de problème repose sur les tactiques suivantes :
1. ne pas peser l'ensemble des pièces disponibles, car on peut avoir une information sur des pièces non pesées du seul fait de l'équilibre des pièces pesées. Cette tactique incite à diviser les 12 pièces en 3 lots identiques pour la première pesée. On la trouve également sur les pesées suivantes, dans certains cas. C'est la tactique que vous citez très justement.
2. une fois une pièce jugée "du même poids que les autres", ne pas hésiter à la remettre sur la balance quand on a un nombre impair de pièces à jauger. On passe comme ça a un nombre pair, donc des groupes équivalents de chaque côté.
3. et surtout, la dernière tactique, la plus belle : ne jamais garder sur un même plateau de la balance deux fois de suite un même groupe de pièces. Cette tactique permet de faire une vraie pesée en deux demi-pesées. C'est en procédant ainsi qu'on arrive en 3 pesées à faire 4 voire 5 comparaisons d'une pièce donnée avec les autres.
- Par exemple, dans le cas où à la première pesée on a ABCD et EFGH qui ne s'équilibrent pas, l'idée est bien de séparer ABCDEFGH en 3 lots comme la première fois. Il faut donc ajouter une pièce pour pouvoir diviser par 3. On ajoute I, pièce dont on sait qu'elle a le poids de toutes les autres (sauf une). C'est la tactique 1 + la tactique 2. Maintenant, il faut décider quelles sont les 3 pièces qu'on laisse de côté. Ce sont 3 pièces de ABCDEFGH, bien sûr (on n'a pas rajouté I pour ne pas la mettre sur un plateau finalement). Si on prend 3 pièces d'un même plateau de la première pesée (par exemple FGH), on va se retrouver avec soit ABC contre DEI, soit ABE contre CDI (toutes les autres combinaisons sont équivalentes). C'est bien, mais si on a un déséquilibre, on aura droit à deux pesées de plus (donc 4). L'astuce est donc de laisser de côté deux pièces d'un plateau, une de l'autre (et c'est une sorte de pesée virtuelle qu'on fait), ET (tactique 3) de redistribuer les pièces. On laisse de côté D (du premier plateau) et GH (du second plateau) ET on pèse AEI contre BCF.
- Ainsi, comme on savait comment se comportait A quand il avait BC à ses côtés, on sait à présent comment il se comporte quand il a BC en face de lui (idem pour E par rapport à F). On va récolter un petit bout d'information supplémentaire qui sera utile ensuite.
- Car c'est là qu'en observant le sens dans lequel penche la balance d'un coup sur l'autre qu'on peut s'éviter des pesées et ne choisir comme troisième pesée que celle qui est nécessaire (dans la solution, c'est chaque fois où il est écrit "sinon, il y aurait contradiction avec une pesée précédente").
- Noter que nulle part il est écrit de noter que telle ou telle pièce est plus lourde ou moins lourde (comme dans certaines solutions proposées par google). On a juste besoin d'observer si la balance penche dans le même sens d'un coup sur l'autre (à partir du moment où on utilise cette tactique 3 de redistribution des pièces). L'information "la pièce recherchée est plus lourde, ou moins lourde que les autres", est effectivement connue à l'issue du problème, mais n'est pas nécessaire pour résoudre le problème (ni dans l'énoncé, bien sûr, sinon on résoud en deux pesées très probablement ; ni en cours de résolution, c'est ce que je veux dire ici).
- C'est toute la beauté de ce problème :
a. il faut faire émerger des informations par collage d'informations partielles (les doubles demi-pesées, tactique 3)
b. il y a des informations supplémentaires qui émergent par la clôture d'hypothèses (quand dans la solution on peut ajouter par simple raisonnement des infos sur deux pièces (lignes 71 et 72 du tableau excel, par ex.))
c. une information a priori vitale (le poids relatif de la pièce unique) est obtenue à l'issue du problème, mais ne sert pas à résoudre le problème
Pour Luc qui est féru de théorie de l'information, il y a là matière à réflexion. En cryptographie aussi. C'est d'ailleurs dans ces cadres que ce problème-jeu existe.
Allez, un autre !
Rédigé par: APM | janvier 13, 2005 09:54 AM

le problème Cell, c'est que tu simplifies l'énoncé: tu réponds à la question "quelle est la bille la plus lourde?" et non "quelle bille a un poids différent?"
Rédigé par: Nounou | janvier 13, 2005 01:41 PM

Réponse à APM: oui bien sûr la crytographie , la stéganographie m'intéressent!
Rédigé par: Luc Fayard | janvier 13, 2005 07:08 PM

janvier 13, 2005

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